Extraits du volume 3

Le troisième volume des Éléments de mathématiques pour le XXIe siècle est consacré à :

  • des compléments de théorie des ensembles, notamment l'étude de la notion d'ordinal (qui étend le principe permettant d'ordonner un ensemble fini) et de celle de cardinal (qui étend le principe permettant de dénombrer un ensemble fini), et la présentation de deux exemples de théories alternatives des ensembles (autres que la théorie standard de Zermelo-Fraenkel exposée dans le volume 2) : les théories des classes de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) et de Morse-Kelley (MK), et la théorie New Foundations with Urelements [Nouveaux Fondements avec Uréléments] (ou NFU) ;

  • des compléments d'algèbre et de mathématiques discrètes, qui concernent les groupes et les anneaux (notamment la notion d'anneau quotient, permettant la construction des anneaux Z/nZ des entiers modulo n), et la théorie élémentaire des nombres (divisibilité dans N et Z, pgcd et ppcm...) ;

  • l'introduction de différentes théories mathématiques plus avancées : la théorie des modèles, qui étudie les relations pouvant exister entre des théories formelles et certaines structures algébriques, la théorie de la calculabilité, qui s'intéresse à la formalisation du concept d'algorithme et permet de démontrer certains théorèmes dits de limitation (comme les théorèmes d'incomplétude de Gödel), et la théorie des catégories et plus précisément celle des topos, qui est le cadre dans lequel est présentée une autre théorie alternative des ensembles, la théorie élémentaire de la catégorie des ensembles (ou ETCS) de William Lawvere.

Extraits de la version papier (la version numérique dispose en plus de liens hypertextes) :

Elements_de_mathematiques-Vol_03-Extraits.pdf

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